Babası Gürcü kökenli olan Gürzap, Ankara Devlet Konservatuvarı Tiyatro Yüksek bölümü mezunu olup, Ankara Devlet Tiyatroları Genel Müdürlüğü'nde sanat hayatına başladı. 1987'den bu yana İstanbul Devlet Tiyatrosunda oyuncu ve yönetmen olarak görev yapmaktadır. Tiyatro İstanbul'da da bir süre çalışan sanatçı; MSÜ Tiyatro bölümünde de dersler vermiş olup, eşi Can Gürzap ile birlikte Dialog adlı okulun kurucu kadrosunda yer aldı. 15 yılda 15.000 mezun veren okulda sunuculuk, güzel konuşma, insan ilişkileri eğitmeni olarak dersler vermektedir. Arsen Gürzap sinema filmleri ve dizilerde de rol almış, seslendirme çalışmaları da yapmıştır. Son yıllarda en ses getiren seslendirme çalışması LÖSEV Lösemili çocuklar Vakfı'nın tanıtım filmleri olmuştur.