Gobbi Ede Alajos papírkárpitgyári üzletvezető és Schneckenburger Margit római katolikus vallású szülők gyermekeként született Budapesten. Az apai ágon olasz származású Gobbi Hilda a gimnázium után a putnoki Gazdasági Felső Leánynevelő Intézetbe járt, majd a Pázmány Péter Tudományegyetem Botanikus Kertjében gyakornokoskodott. 1932 és 1935 között a Színház- és Filmművészeti Főiskola ösztöndíjas növendéke volt. A diploma átvétele után a Nemzeti Színházhoz szerződött. 1960 és 1970 között a József Attila Színház, 1971-től 1982-ig újra a Nemzeti, majd 1982-től haláláig a Katona József Színház tagja volt.

1945 előtt részt vett a munkásszínjátszásban, szerepelt a Vasas Szakszervezet művészestjein és szerepet vállalt az ellenállási mozgalomban is. A német megszállás, 1944. március 19. után illegalitásba vonult. Apjától, Gobbi Ede századostól, egy munkaszolgálatos zászlóalj parancsnokától, katonai mentesítő űrlapokat szerzett az ellenállás részére, melyeket felsőbb kapcsolatain, Horváth Árpádon és Major Tamáson keresztül továbbított.

A háború után tevékenyen közreműködött a Nemzeti Színház újjáépítésében. Elkötelezett baloldaliként részt vett a közéletben is. Egy interjúban mondta egyszer: „Én sohasem voltam »csak« színész. Hiszek abban a sokak által ostobaságnak vélt közhelyben, hogy a színész akarva-akaratlanul mindig politizál. Már csak azért is, mert másfél méterrel magasabban áll a közönségnél, amikor szól hozzá.” Kezdeményezésére jött létre a Bajor Gizi Színészmúzeum, a színinövendékeknek a Horváth Árpád kollégium, az idős színészek számára pedig a Jászai Mari és az Ódry Árpád színészotthon. A Jászai Otthonból később – szintén az ő kezdeményezésére – a fiatal színészek otthona lett. A Színházművészeti Szövetségben, valamint a Színész Szakszervezetben sokat tett a rászoruló színésztársaiért.

Nőkhöz fűződő vonzalmát nyíltan vállalta, hosszú éveken keresztül élt együtt Temessy Hédi színésznővel, majd Galgóczi Erzsébet írónővel. Végrendeletében – mivel családja nem volt – vagyona egy részéből az Aase-díjat alapította meg, illetve az összeg kis részéből rászoruló, idős színésztársait támogató alapot hozott létre – ez a támogatás azonban mára jelentéktelen összegűvé vált. A Visegrád-Szentgyörgypusztán, a Kisoroszi-révnél lévő nyaralóját alkotóház céljára ajánlotta fel. Tiszteletére alapították meg a Gobbi Hilda-díjat a pályájuk delén túl lévő, korábban nem díjazott színészek számára.