Родился в городе Тифлис, Российская Империя. Армянский советский актёр. Народный артист Армении. Актёр Ереванского русского драматического театра им. Станиславского. Жил в армянском квартале Авлабар. Отец рано оставил семью, и их со старшим братом воспитывала мать. Работал на металлургическом заводе литейщиком и учился в школе рабочей молодежи. Когда в Тбилиси открылся Русский драматический театр, его неудержимо потянуло на сцену. Театр стал призванием всей его жизни. Был сначала рабочим сцены, затем окончил актерский факультет и вышел на подмостки. В 1936 году в Ереване открылся русский драматический театр имени Станиславского, и Грикуров с семьей переехал в Армению. Сыграл множество разнообразных ролей на сцене. Во время Великой Отечественной войны Иван Григорьевич с группой артистов выступал перед ранеными в госпиталях. Эта шефская работа продолжилась и в мирное время: бригада актеров с его участием регулярно выступала на пограничных заставах Закавказского военного округа. В 1949 году поступил на режиссерский факультет ГИТИСа, на курс знаменитого Игоря Ильинского, и блестяще закончил институт. Уже в зрелом возрасте он снова "сел за парту" - на этот раз на факультет английского языка Института имени Брюсова. Много ездил с гастролями по Союзу и много путешествовал, повидал Данию, Италию, Югославию, США, Египет и другие страны. На гастролях и в путешествиях он не расставался с фотоаппаратом - это одно из его многочисленных увлечений. Очень интересный собеседник, человек абсолютно неконфликтный и доброжелательный, артист легко сходился с людьми. Умер в Ереване. Похоронен рядом с матерью и женой, с которой прожил вместе 60 лет.